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Convolución en tiempo continuo
Definición de convolución
La operación de convolución entre dos señales $f(t)$ y $x(t)$ genera una nueva señal $g(t)$, la operación se define como:
Nota: También se conoce a la convolución como producto composición, integral de superposición, integral de Duhamel.
Esta operación tiene diferentes simplificaciones dependiendo de como sea la forma de las señales involucradas, comenzamos con el caso que aparece frecuentemente en sistemas.
Señales causales
Si las señales son causales y tienen longitud infinita entonces la convolución es:
$$g(t)=\begin{cases}
\int_0^t f(\tau)x(t-\tau)\,d\tau&\mbox{si }0\leq t\\
0&\mbox{en otro caso}
\end{cases}$$
Escribiremos el escalón unitario de manera implícita $f(t)u(t)$ y $x(t)u(t)$, al sustituir en la definición de convolución
$$\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)u(\tau)x(t-\tau)u(t-\tau)\,d\tau$$
Si $\tau<0$ entonces $u(\tau)=0$ así la integral se reduce a:
$$\int_{0}^{\infty}f(\tau)u(\tau)x(t-\tau)u(t-\tau)\,d\tau$$
Si $t-\tau < 0$ equivalentemente $t < \tau$ entonces $u(t-\tau)=0$ y los escalones tienen valor unitario, así la integral se reduce a:
$$\int_{0}^{t}f(\tau)x(t-\tau)\,d\tau$$
Otra caso para tener en cuenta es cuando las señales tienen longitud finita, es decir, son cero para casi todo su intervalo de definición, en tales circunstancias se puede dar una sugerencia de los pasos a seguir para realizar la convolución.
Pasos para realizar convoluciones
1. Seleccionar una de las dos señal para graficar con el argumento $\tau$
2. La segunda señal se gráfica con el argumento $-\tau$
3. En la segunda señal para cada valor horizontal de cambio de geometría se suma la variable $t$
4. Se traslada la segunda señal mediante la variable $t\in\mathbb{R}$ hasta que $f(\tau)g(t-\tau)$ no sea cero
5. Mediante el paso anterior se eligen los valores de $\tau$ para realizar la integral
6. Se anota el intervalo de $t$ para los cuales los pasos 4 y 5 son válidos
7. Se repite los pasos 4-6 hasta que $t$ tome todos los valores reales
De la definición es fácil ver que se satisfacen las siguientes propiedades
Escribiremos el escalón unitario de manera implícita $f(t)u(t)$ y $x(t)u(t)$, al sustituir en la definición de convolución
$$\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)u(\tau)x(t-\tau)u(t-\tau)\,d\tau$$
Escribiremos el escalón unitario de manera implícita $f(t)u(t)$ y $x(t)u(t)$, al sustituir en la definición de convolución
$$\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)u(\tau)x(t-\tau)u(t-\tau)\,d\tau$$
5) Traslación. Si $f(t)*x(t)=y(t)$ entonces $$f(t-t_0)*x(t)=y(t-t_0)$$
6) Constantes. Si $a$ es constante entonces $$af(t)*x(t)=f(t)*ax(t)=a(f(t)*x(t))$$
7) Derivación con delta. Si $m\in\mathbb{N}$ entonces $$f(t)*\delta^{(m)}(t)=f^{(m)}(t)$$
8) Derivación. Si $f(t)*x(t)=y(t)$ y $m,n\in\mathbb{N}$ entonces $$f^{(m)}(t)*x^{(n)}(t)=y^{(m+n)}(t)$$
9) Escalamiento. Si $f(t)*x(t)=y(t)$ y $a\neq 0\in\mathbb{R}$ entonces $$f(at)*x(at)=\frac{1}{|a|}y(at)$$
Observaciones
La convolución no necesariamente existe, i. e., no siempre se puede realizar para cualesquiera dos señales, por ejemplo si se quiere realizar $u(t)*u(-t)$ donde $u(t)$ es un escalón unitario, veremos que no hay convergencia para ningún valor de $t$
La convolución de señales periódicas también tiene detalles técnicos, es por eso que algunas veces se define una operación conocida como convolución periódica, que es similar a la definición de convolución salvo que los límites de integración no son infinitos.
El resultado de la convolución de dos señales es "más suave" que las señales involucradas.
Para los casos en donde las señales son causales se puede construir la siguiente tabla, la deducción de cada fórmula es de manera directa
#
$f(t)$
$x(t)$
$f(t)*x(t)$
Prueba
1.
$f(t)$
$\delta(t-T)$
$f(t-T)$
2.
$e^{\lambda t}u(t)$
$u(t)$
$\frac{e^{\lambda t }-1}{\lambda}u(t)$
3.
$u(t)$
$u(t)$
$tu(t)$
4.
$e^{\lambda_1 t}u(t)$
$e^{\lambda_2 t}u(t)$
$\frac{e^{\lambda_1 t }-e^{\lambda_2 t }}{\lambda_1-\lambda_2}u(t)$ $\lambda_1\neq\lambda_2$
$\frac{e^{\lambda_2 t }-e^{\lambda_1 t }+(\lambda_1-\lambda_2)te^{\lambda_1 t }}{(\lambda_1-\lambda_2)^2}u(t)$ $\lambda_1\neq\lambda_2$
10.
$t^Me^{\lambda t}u(t)$
$t^Ne^{\lambda t}u(t)$
$\frac{M!N!}{(N+M+1)!}t^{M+N+1}e^{\lambda t}u(t)$
11.
$e^{-a t}cos(\beta t + \theta)u(t)$
$e^{\lambda t}u(t)$
$\frac{cos(\theta-\phi)e^{-\lambda t}-e^{-at}cos(\beta t +\theta-\phi)}{\sqrt{(a+\lambda)^2+\beta^2}}u(t)$ $\phi=tan^{-1}\left(-\beta/(a+\lambda)\right)$
La convergencia de la serie de Fourier de una función $f(t)$, se refiere a especificar en que sentido la función $f(t)$ se "parece" a su serie de Fourier. Si se satisfacen las siguientes condiciones:
La función $f(t)$ es absolutamente integrable en $< T_0 >$, es decir $$\int_{< T_0 >}|f(t)|dt<\infty$$
$f(t)$ tiene un número finito de discontinuidades (no infinitas) en $< T_0 >$
$f(t)$ tiene un número finito de máximos y mínimos en $< T_0 >$
Entonces se asegura que en un punto $a$ donde $f(t)$ sea continua la serie de Fourier converge al valor de $f(t)$ siempre y cuando se consideren una cantidad suficientemente grande de armónicos, esto es $$\lim_{n\to\infty}S_f(a)=f(a)$$ y si resulta ser que en $a$ $f(t)$ es discontinua (no infinita) se tendrá que $$S_f(a)=\frac{f(a^-)+f(a^+)}{2}$$ A las condiciones anteriormente mencionadas se les conoce como condiciones de Dirichlet.
En particular se presenta un fenómeno en la gráfica de la serie de Fourier en los puntos donde $f$ tiene discontinuidades tipo salto, este fenómeno recibe el nombre de Fenómeno de Gibbs, y se refiere a un "excedente" que aparece en la gráfica justo en las discontinuidades, tanto a la izquierda como a la derecha del punto de discontinuidad, este excedente disminuye su "ancho" conforme aumenta el número de armónicos considerados en la suma de la serie.
Aunque este comportamiento es un poco extraño no contradice en ningún momento la Teoría de Fourier, es decir, con la serie se buscaba minimizar la energía del error ( definido como la resta de la función original menos la serie) y en ningún momento se busco una "copia" de la función original
Teorema de Parseval
Este resultado nos indica que la potencia de una señal periódica $f(t)$ se puede obtener a partir de su serie de Fourier asociada $S_f$, entonces si se tiene la representación trigonométrica compacta de $f$, se tendrá $$P_f=C_0^2+\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}C_n^2$$ Y en caso de que se tenga la representación exponencial compleja
$$P_f=D_0^2+2\sum_{n=1}^{\infty}|D_n|^2$$
Ejemplo 1. Aplicación del teorema de Parseval
Si aplicas el teorema de Parseval a la función periódica $f(t)=t$ en $[-1,1]$ ¿Qué resultado se obtiene?
(a) Antes de hacer cuentas es bueno pensar que podría esperarse. Si pensamos en la expresión trigonométrica compacta (sin perdida de generalidad, pues las tres representaciones son equivalentes) el espectro esta determinado por $C_n$ y $\phi_n$ para cada $n\in\mathbb{N}$ (cada función sera de la forma $C_n\cos(n\omega_0 t+\phi_n)$), ahora la serie se "parece" a la señal original, entonces si se traslada horizontalmente a la señal original, bastaría con trasladar a todas las funciones en la serie de Fourier para que el "parecido" continué siendo cierto, es decir se tendrían las mismas frecuencias asociadas a las mismas magnitudes pero a ángulos diferentes respecto de los originales (por el desplazamiento) ¿es esta idea clara?, en caso de que no (y aunque si) realicemos las operaciones correspondientes
(b) Pensando en como comenzamos el inciso anterior, ¿es transparente que se esperará en este caso?, antes de contestar procedamos al contrario del inciso anterior, ahora primero realicemos cuentas
Después de estas operaciones, ¿que pensarías sobre la pregunta inicial?
Transformada de Fourier continua $\mathscr{F}$
Se define a la transformada de Fourier de una función \(f(t)\) en tiempo continuo como
\begin{equation}
\mathscr{F}\left\{ f(t) \right\}=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(t) } { e }^{ -j\omega t }dt
\end{equation}
siempre y cuando esta integral converja.
Obsérvese que en esta integral desaparece la letra de integración (cuando se termina de integrar), en este caso la \(t\), por lo que este procedimiento da lugar a una nueva expresión en términos de una nueva variable \(\omega\), y dependiendo de la literatura que se consulte se define la siguiente notación:
Se utilizará cualquiera de estas notaciones de manera indistinta. La transformada de Fourier es un tipo de operación que en general se conoce como transformada integral
Los siguientes ejemplos ayudan a entender como encontrar la transformada de Fourier por medio de la definición, son cálculos directos, es decir, son técnicas de integración usual (recuerde que \(j\) se opera como una constante), probablemente lo "complicado" es evaluar los límites de integración, si no se recuerda como realizar estas evaluaciones es muy recomendable que se revise el siguiente enlace antes de continuar, con el fin de que los procedimientos presentados sean transparentes, aunque puede avanzar sin ningún problema.
Ejemplo 1.
Encuentre la transformada de Fourier de \(f(t)={ e }^{ -at }u(t)\)
Los ejemplos anteriores pueden ser resueltos usando diferentes paquetes de computo, en particular se han implementado los códigos en Python y MATLAB, que puedes consultar y ejecutar en los enlaces indicados.
Puedes copiar el código de Python y ejecutarlo en el siguiente enlace
Puedes copiar el código de MATLAB y ejecutarlo en el siguiente enlace
#Python
from sympy import *
from sympy.abc import a, k, w, t
k=w/(2*pi)
f=fourier_transform(exp(-a*t)*Heaviside(t), t, k)
g=fourier_transform(t*exp(-a*t)*Heaviside(t), t, k)
h=fourier_transform(exp(-a*Abs(t)), t, k)
print f,g,h
%MATLAB
syms t w
syms a positive
f=exp(-a*t)*heaviside(t);
g=t*exp(-a*t)*heaviside(t);
h=exp(-a*abs(t));
fourier(f,t,w)
fourier(g,t,w)
fourier(h,t,w)
Propiedades de la transformada de Fourier
Si se suponen ciertas condiciones de las funciones a las cuales se calcula su transformada Fourier y se manipula la definición de la transformada, se pueden deducir propiedades, es decir, simplificaciones del uso de la transformación. Si estas interesado en conocer un argumento del porqué las expresiones listadas son correctas, puedes consultar los videos asociados.
La siguiente tabla muestra las transformadas de Fourier de señales usuales, la prueba del resultado, la "gráfica" de la señal , la "gráfica" de la transformada y la gráfica del espectro de Fourier (en algunos casos no es la gráfica, es la idea geometrica asociada a la distribución).
Por último se hace el siguiente razonamiento: Se ha encontrado la transformada de Fourier $X(\omega)$ de la incógnita $x(t)$ de la ecuación diferencial, entonces a partir de las fórmulas conocidas se sigue que para tener la estructura $X(\omega)$ necesariamente $x(t)$ tiene que ser
La cual es la solución buscada de la ecuación diferencial.
Observaciones.
Sabemos que la ecuación diferencial propuesta es una ecuación que necesita 2 condiciones iniciales ($x(t_0)$, $\dot{x}(t_0)$) para tener una solución única, pues es de segundo orden. Entonces ¿Por qué no se han especificado estas condiciones iniciales?, la respuesta corta es porque no se necesitan, si se observa el procedimiento presentado previamente en ningún momento se presenta la necesidad de conocer $x(t_0)$ o $\dot{x}(t_0)$ para concluir el resultado.
Siendo un poco más formales, resulta ser que una de las aplicaciones de la transformada de Fourier es para resolver ecuaciones diferenciales de orden $n$ con coeficientes constantes y con condiciones iniciales cero (las condiciones iniciales se especifican en algún punto $t_0$ por lo regular $t_0=0$), precisamente como el procedimiento no necesita de estos datos pensamos que los datos son nulos. Entonces el problema completo tendría que haberse escrito de la sigueinte manera
Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial con condiciones iniciales $x(0)=0$ y $\dot{x}(0)=0$ mediante la transformada de Fourier $$\ddot{x}(t)+7\dot{x}(t)+10x(t)=u(t)$$
Ahora obsérvese que el siguiente problema no se puede resolver por completo mediante la transformada de Fourier, ¿Por qué?
Encuentre la solución de la siguiente ecuación diferencial con condiciones iniciales $x(0)=1$ y $\dot{x}(0)=-1$ mediante la transformada de Fourier $$\ddot{x}(t)+7\dot{x}(t)+10x(t)=u(t)$$
Densidad espectral de potencia
La densidad espectral de potencia $P(\omega)$ (o $S_f(\omega)$ depende de la literatura consultada) de una señal de potencia $f(t)$, puede definirse directamente, también puede motivarse la definición de distintas maneras para que el calculo resulte como la solución de una pregunta planteada. Aquí se indicará cual es la motivación, pero los argumentos para llegar a la definición no se desarrollarán, se presentará su definición y algunas equivalencias y simplificaciones.
Si se recuerda el teorema de Parseval para transformada de Fourier, se tiene que una función en el dominio $\omega$, $||G(\omega)||^2$, tiene la misma distribución de energía que una señal de energía $g(t)$, (salvo por una constante) con $G(\omega)=\mathscr{F}\{g(t)\}$. Es decir,
La idea sería encontrar una expresión similar para una señal de potencia, es decir, si $f(t)$ es una señal de potencia nos gustaría encontrar $P(\omega)$ tal que:
Entonces para encontrar esta $P(\omega)$ se podría definir $f_T(t)=f(t)rect(t/T)$ y a esta nueva señal (pensando que tiene energía finita) se le podría aplicar el teorema de Parseval para transformada de Fourier. Después de algunas manipulaciones para que la ecuación (1) se satisfaga, se llega a que la densidad espectral de potencia $P(\omega)$ para una señal de potencia $f(t)$, se define como:
donde $\overline{r}_{ff}(t)$ es la autocorrelación promedio de la señal $f(t)$. Se puede utilizar cualquiera de las dos definiciones para calcular la densidad espectral de potencia. Algunas veces este cálculo se simplifica para señales que satisfacen ciertas hipótesis, en particular se tiene el siguiente resultado
Señales periódicas reales
Si una señal de potencia $f(t)$ satisface que:
1. $f(t)$ es periodica de periodo $T_0$
2. $f(t)$ es real
Entonces su densidad espectral de potencia esta dada por
La demostración de esta simplificación se sigue en tres pasos, el primero es calcular la autocorrelación promedio de una señal periódica de periodo $T_0$,
el segundo es calcular la serie de Fourier del resultado antes obtenido (que también es una señal periódica del mismo periodo, es decir $\overline{r}_{ff}(t)=\overline{r}_{ff}(t+T_0) $) sabiendo que la señal es real, posteriormente utilizamos la equivalencia de la densidad espectral de potencia junto con la fórmula 23 de la tabla de transformadas de Fourier que se encuentra en la parte superior. Para ilustrar este procedimiento, en los siguientes ejemplos aplicaremos directamente el resultado, y después realizaremos los pasos descritos anteriormente con el fin de reforzar el entendimiento del calculo de la densidad espectral de potencia.
Entonces el análisis es el siguiente, el objetivo de calcular la serie de Fourier de una señal es escribirla en términos de funciones exponencial complejas multiplicadas por ciertos coeficientes, este objetivo ya se ha cumplido al utilizar Euler, así se logra identificar a $D_1=\dfrac{Ae^{\phi j}}{2j}$ y $D_{-1}=\dfrac{Ae^{-\phi j}}{-2j}$ ¿Por qué?
Si se calculan las coeficientes $D_n$ de manera directa se tendrá que todos los coeficientes son cero excepto cuando $n=1$ y $n=-1$, sería bueno comprobar esta situación. Se tiene que
Se define a la transformada de Laplace bilateral de una función \(f(t)\) en tiempo continuo como
\begin{equation}
\mathscr{L}\left\{ f(t) \right\}=\int _{ -\infty }^{ \infty }{ f(t) } { e }^{ -s t }dt
\end{equation}
siempre y cuando esta integral converja.
Obsérvese que en esta integral desaparece la letra de integración (cuando se termina de integrar), en este caso la \(t\), por lo que este procedimiento da lugar a una nueva expresión en términos de una nueva variable $s\in\mathbb{C}$, por tal motivo se define la siguiente notación:
La transformada de Laplace es un tipo de operación que en general se conoce como transformada integral, puedes reproducir los videos para más información.
Si redefinimos los límites de integración de $0^-$ a $\infty$ damos lugar a la transformada de Laplace unilateral derecha (la que utilizaremos normalmente)
\begin{equation}
\mathscr{L}_+\left\{ f(t) \right\}=\int _{ 0^- }^{ \infty }{ f(t) } { e }^{ -s t }dt
\end{equation}
nuevamente siempre y cuando esta integral converja, esta operación también da lugar a una nueva expresión que depende de la variable $s\in\mathbb{C}$, por tal motivo se define la notación:
Cuando decimos que la integral converja, nos referimos a que la operación exista, esta existencia en ocasiones queda determinada por los valores que se elijan de la variable $s$, es decir $s\in\xi\subseteq\mathbb{C}$, $\xi$ recibe el nombre de Región de convergencia ROC (por sus siglas en inglés Region Of Convergence) de la transformada.
Observemos que si la señal $f(t)$ es causal, entonces la transformada bilateral y la transformada unilateral derecha coinciden en la definición, es decir, $\mathscr{L}=\mathscr{L}_+$. También observemos que si en la transformada bilateral se tiene que $\mathbb{I}m(s)\subseteq\xi$ entonces se puede hacer $s=j\omega$ y se tiene la definición de transformada de Fourier, es decir, podremos obtener la transformada de Fourier a partir de la transformada de Laplace bilateral siempre y cuando $\mathbb{I}m(s)\subseteq\xi$ .
En los siguientes ejemplos se encuentra la transformada de Laplace bilateral por medio de la definición, son cálculos directos, es decir, son técnicas de integración usual ($s$ se opera como una constante compleja), se tiene que tener claro como evaluar los límites de integración, si no se recuerda como realizar estas evaluaciones es recomendable que se revise el siguiente enlace antes de continuar, con el fin de que los procedimientos presentados sean transparentes, aunque puedes avanzar si así lo decides.
Ejemplo 1.
Encuentre la transformada de Laplace bilateral y la ROC de \(f(t)={ e }^{ at }u(t)\)
En este caso $\mathscr{L}=\mathscr{L}_+$ ¿Por qué?
Los ejemplos anteriores que sean funciones causales pueden ser resueltos usando MATLAB, puedes copiar y ejecutar el ejemplo de código en el siguiente enlace
%MATLAB
syms t s
syms a positive
f=exp(a*t)*heaviside(t);
h=exp((2-3i)*t)*heaviside(t);
laplace(f)
laplace(h)
syms a negative
f=exp(a*t)*heaviside(t);
laplace(f)
Propiedades de la transformada de Laplace unilateral derecha
Nuestro objetivo es trabajar con señales causales, pues en ingeniería la variable independiente de una señal puede ser interpretada como tiempo, y se puede pensar que cuando un fenómeno comienza a observarse, en ese instante accionamos un reloj, es decir, los fenómenos pueden pensarse que transcurren de $[0,\infty)$ y para fines prácticos de $[0^-,\infty)$, en otra sección se explicará con mayor detalle esta abstracción. De ahora en adelante trabajaremos con la definición de transformada de Laplace unilateral derecha para señales causales, y para concordar con la notación usual fijamos la notación como
Al igual que la transformada de Fourier, la transformada de Laplace tiene algunas propiedades que facilitan su uso y que pueden ser deducidas a partir de la definición y de suponer la estructura de las expresiones a las cuales se aplica. La siguiente tabla muestra algunas de las propiedades, es importante que esta tabla se utilice una vez que se tenga claro el significado de cada propiedad.
$\lim\limits_{s\to 0}sF(s)$ si $p$ es polo de $sF(s)$ $\mathbb{R}e(p)<0$
Teorema de valor inicial
$\lim\limits_{t\to 0^+}f(t)$
$\lim\limits_{s\to \infty}sF(s)$ $F(s)$ estrictamente propia
Tabla de Transformadas de Laplace
La siguiente tabla muestra las transformadas de Laplace de señales causales, la región de convergencia (ROC), y la prueba del resultado, es importante que cuando se use esta tabla se tenga claro el significado de cada termino.
Obsérvese que en esta serie desaparece la variable (cuando se termina de realizar la operación), en este caso la \(n\), por lo que este procedimiento da lugar a una nueva expresión en términos de una nueva variable $z\in\mathbb{C}$, por tal motivo se define la siguiente notación:
nuevamente siempre y cuando esta serie converja, esta operación también da lugar a una nueva expresión que depende de la variable $z\in\mathbb{C}$, por tal motivo se define la notación:
Cuando decimos que la serie converja, nos referimos a que la expresión de la transformada tenga sentido, esta existencia en ocasiones queda determinada por los valores que se elijan de la variable $z$, es decir $z\in\xi\subseteq\mathbb{C}$, $\xi$ recibe el nombre de Región de convergencia ROC (por sus siglas en inglés Region Of Convergence) de la transformada.
Observemos que si la señal $x[n]$ es causal, entonces la transformada bilateral y la transformada unilateral derecha coinciden en la definición, es decir, $\mathscr{Z}=\mathscr{Z}_+$. También observemos que si en la transformada bilateral se tiene que $e^{j\Omega}\subseteq\xi$, $\forall \Omega\in\mathbb{R}$ entonces se puede hacer $z=e^{j\Omega}$ y se tiene la definición de transformada de Fourier discreta, es decir, podremos obtener la transformada de Fourier discreta a partir de la transformada de zeta bilateral siempre y cuando el circulo unitario en el plano $z$ pertenezca a la región de convergencia $\xi$.