Redes de Grossberg

Contentido

Problema 18.1 Problema 18.2 Problema 18.3 Problema 18.4 Problema 18.5 Problema 18.6 Problema 18.7 App Referencias

Problema 18.1

syms n(t) epsilon n_0

ecudif = epsilon * diff(n,t) == -n(t) + 1

ecudif(t) =

cond = n(0) == n_0;

S(epsilon,n_0) = dsolve(ecudif,cond)

S(epsilon, n_0) =

epsilon_n = [0.125 0.25 0.5 1];

fplot(S(epsilon_n,0),[0 2])

legend('\epsilon = 0.125','\epsilon = 0.25','\epsilon = 0.5','\epsilon = 1')

Problema 18.2

ii)

delta_t = [0:0.1:1];

nn(1) = 0;

for t = 2:11

nn(t) = 0.9*nn(t-1) + 0.1;

end

figure

plot(delta_t,nn,'*r')

hold on

fplot(S(1,0),[0 1],'b')

iii)

Problema 18.3

syms n(t) epsilon b_ma b_me p_ma p_me

ecudif = epsilon * diff(n,t) == -n(t) + (b_ma - n(t))*p_ma - (n(t)+b_me)*p_me

ecudif(t) =

ecudif_1 = subs(ecudif,{epsilon,b_ma,b_me, p_ma, p_me},{1,1,1,0,10})

ecudif_1(t) =

cond = n(0) == 0.5;

S1 = dsolve(ecudif_1,cond)

S1 =

figure

fplot(S1,[0 1])

ecudif_2 = subs(ecudif,{epsilon,b_ma,b_me, p_ma, p_me},{1,1,1,0,100})

ecudif_2(t) =

cond = n(0) == 0.5;

S2 = dsolve(ecudif_2,cond)

S2 =

hold on

fplot(S2,[0 1])

legend('p_{me} = 10','p_{me} =100')

Problema 18.4

syms n11(t) n12(t) epsilon b_ma b_me p11 p11 c

b_ma = 1;

b_me = 0;

epsilon = 1;

p11 = c;

p12 = 2*c;

ecudif1 = epsilon * diff(n11,t) == -n11(t) + (b_ma - n11(t))*p11 - (n11(t)+b_me)*p12

ecudif1(t) =

ecudif2 = epsilon * diff(n12,t) == -n12(t) + (b_ma - n12(t))*p12 - (n12(t)+b_me)*p11

ecudif2(t) =

cond1 = n11(0) == 0;

cond2 = n12(0) == 0;

n1_s = dsolve(ecudif1,cond1)

n1_s =

n2_s = dsolve(ecudif2,cond2)

n2_s =

Si se incrementa el valor c, el estado estacionario incrementa, la respuesta se vuelve más rápida.

Problema 18.5

after th einput to Layer 2 has been removed.

La operación en la capa dos es

Cuando se retira la entrada

es cero. Por simplicidad se establece

, y todos los elementos de la desviación exitatoria a

. La respuesta de la i-ésima neurona esta dada por

Esta se puede escribir como

Se define la notación

entonces la ecuación se escribe como

Para tener la actividad total se suma la ecuación sobre i

Esta ecuación describe la variación de la actividad total de la capa 2 en el tiempo.

iI)

Se deriva con respecto a t

Del inciso anterior

al simplificar

Al desarrollar el termino entre corchetes

donde

Así la ecuación diferencial que describe la evolución de la salida relativa es

Problema 18.6

Del problema anterior

Si la función de transferencia es lineal

entonces al sustituir

Así las salidas relativas no cambian.

ii)

Del problema anterior, la salida total de la capa dos despues que la entrada ha sido removida es

Si la función de tranferencia es lineal

entonces la ecuación diferencial puede escribirse como

Para encontrar las soluciones de equilibrio

Las soluciones de equilibrio son

Se analizará la razon de cambio de acuerdo al signo que presenta de acuerdo a los valores de los parámetros

Con este valor la razon de cambio será negativa así converge a cero

a. Si

La dereivada será negativa, despues será cero (derivada continua)

b. Si

La dereivada será positiva, despues será cero (derivada continua)

Para ilustrar el comportamiento se piensa que se tiene la capa 2 sigueinte

entonces

Problema 18.7

La regla de Hebb en tiempo continua con decaemiento es

Tomando la siguiente aproximación

Sustituyendo y simplificando en las ecuaciones anteriores

En forma vectorial

al comparar con la ecuación 15.18

se observa que tienen la misma estructura.

App

Leaky integrator

nnd15li

Shuting Network

nnd15sn

Grossberg Layer 1

nnd15gl1

Grossberg Layer 2

nnd15gl2

Adaptative Weights

nnd15aw

Referencias

El material se toma del libro de Martin Hagan et. al. enlace