Estabilidad (Lyapunov)
Aplicación de MATLAB, instalar, manual
Péndulo
Problema P20.1
-
Se observa que el origen es un punto de equilibrio.
Se proprone la sigueinte función.(es definida positiva)
Cuya derivada es
al sustituir la dinámica del sistema
Esta función es negativa definida, por lo tanto el punto de equilibrio es asintoticamente estable
Problema P20.2
Se observa que el origen es un punto de equilibrio.
Se proprone la sigueinte función.(es definida positiva)
Cuya derivada es
Esta función es negativa definida, por lo tanto el punto de equilibrio es asintoticamente estable
Problema P20.3
La derivada de V
Entonces V no cambia de signo en 
. Ahoa si
. Ahoa si
Si se considera 
Se tienen la siguiente región.
a1 = 4^0.25 % más/menos
a1 = 1.4142
o equivalentemente
En este caso la única combinacion que mantiene las condiciones es (de otro modo no hay igualdad en la dinámica)
Por lo tanto el origen es un atractator y asi el origen es asinoticamente estable.
Problema P20.4
La derivada de V
Si se sustituye la dinámica
Simplificando
La derivada es cero en el origen y en la circunferencia de radio 2. Consideramos la región dentro dentro del circulo
en este caso
y 
Por lo tanto el origen es asintoticamente estable.
Problema P20.5
i ) Para los puntos de equilibrio igualamos la derivada a cero
ii)
La derivada de V
Sea
para 
Entonces la derivada es negativa definida en G
Para Z el valor que cancela la derivada es 
(
no está en G)
(no está en G) 
El invariante más grande de Z y cerramos con la unión con G, es este caso en el único punto
Así G es la región de atracción para . Y este punto de equilibrio es asintoticamente estable. Con estos argumentos se puede aumentar la región G hasta
. Y este punto de equilibrio es asintoticamente estable. Con estos argumentos se puede aumentar la región G hasta App
Dynamic System
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Referencias
El material se toma del libro de Martin Hagan et. al. enlace