Álgebra lineal I

Contenido
Problema 5.1 Problema 5.2 Problema 5.3 i. Primer método. i. Segundo método ii. iii. Problema 5.4 Problema 5.5 Problema 5.6 Problema 5.7 Problema 5.8 App Gram Schmidt App Bases reciprocas Referencias
La idea es recordar los conceptos:
con ejercicios. El resumen se encuentra en Hagan 5-14 a 5-16.

Problema 5.1

P5_1.png
Si queremos que sea un espacio vectorial, en la frontera se debe cumplir con diez condiciones.
La primera condicion consiste en que la suma de dos vectores permanezca en el mismo espacio vectorial. Si tenemos y que son dos vectores en el limite de decisión. Se considera que están en el limite si .
Esto puede expresarse como .
La condición 2 y 3 se cumplen, estas condiciones respectivamente son
,
recordemos que , entonces .
En la condición 4 se requiere un vector zero que se encuentre en el limite. Hacemos , entonces tenemos . De esta forma el vector vemos que el vector zero esta en el límite de decisión.
La condición 5 implica que si p se encuentra en el límite de decisión entonces habrá también un en el limite de decisión. Dado que si p está en el limite decisión, entonces y multiplicamos en ambos lados por -1 ahora tenemos .
La condición 6 es una multiplicación definida como que es un escalar y los vectores , entonces . Solo multiplicamos a y obtenemos
Las condiciones 7 a 10 se cumplen, ya que hemos comprobado las anteriores condiciones y solo es una combinación de ellas mismas.
Condicion 7 dice que si cualquier , (para escalar de 1)
Condición 8 nos dice que dos escalares y , y cualquier .
Condicion 9
Condicion 10

Problema 5.2

P5_2.png
Un espacio vectorial es un conjunto no vacío E que se define sobre un campo escalar C cuyos elementos se llaman vectores y cuenta con dos operaciones: la suma y el producto por un escalar.
Para que un conjunto no vacío se defina como un espacio vectorial, todo elemento y debe cumplir las siguientes condiciones:
Se puede observar que el espacio vectorial no cumple con la condición 6, donde .
Además, un contraejemplo de este conjunto de funciones es.

Problema 5.3

P5_3.png
Solución.

i. Primer método.

Los vectores son linealmente independientes si para la ecuación
se tiene una única solución
.
Podemos ver que una solución es:
, , y
Por lo tanto el conjunto no es linealmente independiente.

i. Segundo método

Cuando tenemos n vectores en un espacio Rn, se puede escribir la ecuación anterior como:
Si la matriz tiene inversa (es no singular), entonces la solución requerirá que todos los coeficientes sean cero, por lo que los vectores serán linealmente independientes.
Para determinar si la matriz tiene inversa se evalúa si su determinante es diferente de cero.
En este caso:
El determinante es cero, por lo que la matriz es singular, no tiene inversa, y por lo tanto, los vectores no son linealmente independientes.
La dimensión del espacio vectorial generado por los vectores es 2, ya que puede demostrarse que cualquier par de vectores son independientes.

ii.

Utilizando algunas identidades trigonométricas podemos escribir
Por lo tanto los vectores no son linealmente independientes.
La dimensión del espacio vectorial generado es 2, ya que ninguna combinación lineal de y da 0 como resultado.

iii.

Similar a la parte (i), excepto por que el número de vectores es menor que la dimensión de los vectores. No se puede construir la matriz cuadrada de determinantes. Entonces se puede usar el método de Gram, que consiste en obtener el determinante de una matriz cuyos elementos i,j son el producto interno de un vector i y un vector j. Si el determinante es diferente de cero, los vectores son linealmente independientes.
Donde
Por lo tanto
La dimensión del espacio debe ser menor que 3. Podemos demostrar que y son independientes, ya que
Por lo tanto la dimensión del espacio es 2.

Problema 5.4

P5_4.png
No, son dos conceptos totalmente diferentes. Considere las dos entradas del perceptron mostradas en la figura.
Supongamos que queremos separar los dos vectores
p1=[0.5;0.5]
p1 = 2×1
0.5000 0.5000
p2=[1.5;1.5]
p2 = 2×1
1.5000 1.5000
Si elegimos los pesos y desviación y ,
W=[1 1]
W = 1×2
1 1
b=-2
b = -2
el limite de decisión
W*p1+b
ans = -1
W*p2+b
ans = 1
como se muestra en la figura de arriba. Estos vectores son linealmente separables. Por lo tanto, no son linealmente independientes puesto que .

Problema 5.5

P5_5.png
Sea V un espacio vectorial con producto interno ⟨ , ⟩ y sean β1,β2,..,βn vectores l.i. cualesquiera, entonces se pueden construir vectores dados por ...(I)
tales que es decir son ortogonales.
paso 1.
aplicando (I) tenemos
Paso 2.
aplicando (I) obtenemos
Paso 3.
al apicar (I) observamos lo siguiente
sustituyendo.

Problema 5.6

P5_6.png

Solución:
Un producto interno debe de satisfacer las siguientes propiedades
1.-
2.-
3.- donde la igualdad se manetiene si y solo si x es el vector cero
la igualdad se mantiene aqui solo si x(t)=0 para -1<=t<=1 siendo el vector cero

Problema 5.7

P5_7.png

Producto punto funciones

Método de Gram-Schmidt

syms t
v1s = 1 + t;
y2s = 1 - t;
v1n = @(t) 1 + t;
y2n = @(t) 1 - t;
v2s = y2s - (ppfunciones(v1n,y2n)/ppfunciones(v1n,v1n))*v1s
v2s = 
Así el conjunto ortogonal es

Problema 5.8

P5_8.png
Bases reciporcas
v1 = [1;1;1]
v1 = 3×1
1 1 1
v2 = [1;2;3]
v2 = 3×1
1 2 3
v3 = [1;3;2]
v3 = 3×1
1 3 2
B = [v1 v2 v3]
B = 3×3
1 1 1 1 2 3 1 3 2
Rt = sym(inv(B))
Rt = 
r1 = Rt(1,:)'
r1 = 
r2 = Rt(2,:)'
r2 = 
r3 = Rt(3,:)'
r3 = 
x = [6 9 9]'
x = 3×1
6 9 9
xv = sym(inv(B))*x
xv = 
4*v1 + 1*v2 + 1*v3
ans = 3×1
6 9 9

App Gram Schmidt

nnd5gs

App Bases reciprocas

nnd5rb

Referencias

El material se toma del libro de Matin Hagan et. al. enlace
function r = ppfunciones(f,g)
h = @(t) f(t).*g(t);
r = integral(h,-1,1);
end