Álgebra lineal II
Contenido
La idea es recordar los conceptos:
- Trasformación lineal
- Matriz asociada a una TL
- Cambio de base
- Valores propios y vectores propios
- Diagonalización
con ejercicios. El resumen se encuentra en Hagan 6-15 a 6-16.
Problema 6.1
n = -4:0.01:4;
graficarfa(n,purelin(n),[-5,5,-3,3])
Lo que sabemos es que:
Siguiendo el enunciado igualamos la salida de la neurona con la transformación de la entrada
: trasfomada de pPara que esta transformación sea lineal debe satisfacer
Sustituyendo en la primera condición.
Sustituyendo en la segunda parte de la primera condicion
Comparando
Lo único diferente entre estas dos ecuaciones es el Bias (b) por lo cual para que estas expresiones sean iguales “b” debe de ser igual a cero.
Por lo tanto se puede distinguir que es una transformación no lineal, independientemente que la función de trasferencia sea lineal. A este tipo de no linealidad se le llama Transformación fin a fin.
Problema 6.2
Una transformación lineal es una función donde su dominio y su codominio son espacios vectoriales, es decir, 
es una transformación lineal si y sólo si:
es una transformación lineal si y sólo si:
La proyección de un vector v sobre un vector u se define como:
Comprobando ambas propiedades de una transformación lineal:
1.
. 
2.
Problema 6.3
Se nos pide encontrar la matriz de transformacion de una reflexion respecto a la recta 
asociada a la base canónica 
y 
Por lo que debemos expresar cada elemento de la base del dominio como una combinacion lineal de los vectores de la base del contradominio, en este caso ambos son la base canónica, por lo que reflejaremos 
tomando en cuenta la recta 
asociada a la base canónica y Por lo que debemos expresar cada elemento de la base del dominio como una combinacion lineal de los vectores de la base del contradominio, en este caso ambos son la base canónica, por lo que reflejaremos tomando en cuenta la recta 
y hacemos lo mismo con 
Asi que, una vez que tenemos los vectores, los acomodamos de forma matricial para finalmente obtener 
Esta forma se explica en el libro con mas detalle, otra opcion que tenemos es la siguiente:
Esta forma se explica en el libro con mas detalle, otra opcion que tenemos es la siguiente:Graficamente es muy obvio que si rotamos nuestro plano 45 grados, la reflexión quedaria en términos de una simple reflexíon respecto al eje horizonal o "x"
Asi que propondremos lo siguiente:
Sea 
la base canónica y 
donde 
y 
(Estos vectores son una base del plano rotado, es facil verlo gráficamente, se tomaron estos puntos para no lidiar con los senos y cosenos que quedarían en la base normalizada)
la base canónica y donde y (Estos vectores son una base del plano rotado, es facil verlo gráficamente, se tomaron estos puntos para no lidiar con los senos y cosenos que quedarían en la base normalizada)
Dicho esto, usamos el siguiendo el siguiente diagrama, que nos indica que podemos hacer un cambio de base a la base que nos permite hacer la transformacion deseada muy facilmente, despues hacer la transformacion y volver a nuestra base canónica...
Entonces, representamos los vectores de nuestra base 
como una combinacion lineal de la base 
como una combinacion lineal de la base 
es decir 
y 
resolviendo obtenemos el vector 
y
usando matlab...syms c3 c4
e1=c3-c4==0
e2=c3+c4==1
[a,b]=equationsToMatrix([e1,e2],[c3,c4])
X=linsolve(a,b)
Por supuesto, se pudo haber usado directamente linsolve y pasarle las matrices.
Y listo, tenemos la matriz del cambio de base de nuestra base 
a la que denotaremos con la letra 
, =
a la que denotaremos con la letra , =CB=[.5 .5;-.5 .5]
Aplicamos la transformación lineal de reflexion respecto al eje x: [x,y]->[x,-y]
la cual es trivial dado como se define una multiplicación matricial
T=[-1 0;0 1]
Por ultimo, nos falta regresar a nuestra base canónica, esto lo hacemos mediante la inversa de la matriz de cambio de base de , pidamosla a matlab.
, pidamosla a matlab.BC=inv(CB)
Podemos comprobar el resultado multiplicando nuestras matrices, la matriz resultante deberia ser igual a la respuesta con el otro método.
M2=BC*T*CB
eig(M2)
Comprobamos que el mapeo del eigenvector nos mapea a el mismo... por definicion :D
M2*eig(M2)
Problema 6.4
i. Siendo 
y 
la base del espacio de los numeros complejos X
y la base del espacio de los numeros complejos X
v1 = 1+1j
v1 = 1.0000 + 1.0000i
v2 = 1-1j
v2 = 1.0000 - 1.0000i
b = [v1; v2]
Necesitamos encontrar la matriz de transformación, tal que:
Primero transformamos los vectores bases, es decir, obtenemos su conjugado
A_v1 = conj(v1)
A_v1 = 1.0000 - 1.0000i
A_v2 = conj(v2)
A_v2 = 1.0000 + 1.0000i
Resultando:
Siendo
y 
b_conj = [A_v1; A_v2]
Debemos resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
Que puede resolverse de la siguiente forma:
Por lo tanto:
A = [0 1;
1 0]
ii. Para hallar los eigenvalores podemos utilizar el método álgebraico o las funciones de matlab.
Para el caso algebraico de los eigenvalores, requerimos calcular su polinomio característico y resolver su ecuación característica (igualar el polinomio a 0).
Obtenemos su polinomio característico:
p = poly(A)
Al resolver las ecuación característica, obtenemos los eigenvalores
r = roots(p)
Para hallar los eigenvectores debemos resolver el siguiente sistema:
Para cada
Para reducir operaciones, podemos obtener los eigenvalores y eigenvectores con matlab:
[eigenvectores, eigenvalores] = eig(A)
iii. Para realizar un cambio de base necesitamos usar la ecuación
donde está conformado por la nueva base:
está conformado por la nueva base:
B = eigenvectores
Obtenemos su matriz inversa:
B_inv = inv(B)
Aplicamos la ecuación de 
:
:
A_apos = B_inv*A*B
Recordando que los eigenvalores son:
y 
eigenvalores
Tenemos:
Como se esperaba de la ecuación 
hemos diagonalizado la representación matricial.
hemos diagonalizado la representación matricial.Problema 6.5
Primero debemos determinar los valores propios de la matriz A.
Así que calculamos la ecuación característica resolviendo el siguiente determinante.
Y calculando las raices del polinomio caracteristico.
los valores propios optenidos son 1 y 4 respectivamente.
Para encontrar los vectores propios:
Para 
o 
Por lo tanto el primer vector propio será.
o cualquier escalar multiplo de este.Para 
o 
Por lo tanto el segundo vector propio será:
o cualquier multiplo de este.Matriz de cambio de base es(Formada por los vectores propios optenidos):
Y por ultimo tendremos la matriz diagonizada:
Problema 6.6
Solucion:
El primer paso es formar las matrices
A = [3 -1 0 ; 0 0 1];
B_t = [2 0 0 ; 0 -1 -2 ; 1 0 3];
B_w = [1 0 ; 0 -2];
Y se procede a usar la "similarity transform" para formar la nueva representacion matricial
A1 = (inv(B_w))*A*B_t
Problema 6.7
Solución
A = [1 1;2 1]
La transformación aplicada a 
y a 
y a 
B = sym([2.5 0.5;-0.5 -0.5])
Problema 6.8
Solución i)
Paso 1.
syms t
v1 = sym(1);
v2 = t;
v3 = t^2;
T_v1 = diff(v1)
0
T_v2 = diff(v2)
1
T_v3 = diff(v3)
Paso 2.
T_v1 = 0 * v1 + 0 * v2 + 0 * v3;
T_v2 = 1 * v1 + 0 * v2 + 0 * v3;
T_v3 = 0 * v1 + 2 * v2 + 0 * v3;
D = [0 1 0;0 0 2;0 0 0]
Derivar 
D * [5 10 -1]'
resultado 
Solucion ii)
Paso 1
syms lambda
deter = det(D-lambda*eye(3))
sol = solve(deter == 0)
Paso 2
syms v11 v12 v13
E1 = (D-sol(1)*eye(3))*[v11 v12 v13]'
Ecu = solve(E1 == [0 0 0]')
Ecu.v12
0
Ecu.v13
0
V1 = [1 0 0]' % componente v11 libre
Con MATLAB (bueno todo es MATLAB XD)
eig(D)
[V, B] = eig(D)
jordan(D)
Problema 6.9
Solución
syms a11 a12 a21 a22
A = [a11 a12;a21 a22]
Ecu1 = A * [2;2] == [-1;0]
Ecu2 = A * [-1;1] == [-2;-1]
B = [2 -1;2 1]
C = [-1 -2;0 -1]
Ecu3 = A*B==C
sol1 = solve(Ecu3)
sol1.a11
sol1.a12
sol1.a21
sol1.a22
A = C * inv(B)
sym(A)
App Transformación Lineal
nnd6lt
App Eigenvalores
nnd6eg
Referencias
El material se toma del libro de Matin Hagan et. al. enlace